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什么是傅里葉函數(shù)
法國數(shù)學(xué)家傅里葉發(fā)現(xiàn)，任何周期函數(shù)都可以用正弦函數(shù)和余弦函數(shù)構(gòu)成的無窮級數(shù)來表示（選擇正弦函數(shù)與余弦函數(shù)作為基函數(shù)是因?yàn)樗鼈兪钦坏模?，后世稱為傅里葉級數(shù)(法文：série de Fourier，或譯為傅里葉級數(shù))一種特殊的三角級數(shù)。
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目錄
傅里葉級數(shù)
傅里葉級數(shù)的公式
傅里葉級數(shù)的收斂性
三角函數(shù)族的正交性
奇函數(shù)和偶函數(shù)
廣義傅里葉級數(shù)
編輯本段傅里葉級數(shù)
Fourier series 一種特殊的三角級數(shù)。法國數(shù)學(xué)家J.-B.-J.傅里葉在研究偏微分方程的邊值問題時(shí)提出。從而極大地推動了偏微分方程理論的發(fā)展。在中國，程民德最早系統(tǒng)研究多元三角級數(shù)與多元傅里葉級數(shù)。他首先證明 傅里葉級數(shù)
多元三角級數(shù)球形和的唯一性定理，并揭示了多元傅里葉級數(shù)的里斯 - 博赫納球形平均的許多特性。傅里葉級數(shù)曾極大地推動了偏微分方程理論的發(fā)展。在數(shù)學(xué)物理以及工程中都具有重要的應(yīng)用。 ============================================================================================================
編輯本段傅里葉級數(shù)的公式
給定一個(gè)周期為T的函數(shù)x(t)，那么它可以表示為無窮級數(shù)： mathx(t)=\sum _{k=-\infty}^{+\infty}a_k\cdot e^{jk(\frac{2\pi}{T})t}/math（j為虛數(shù)單位）（1） 其中，matha_k/math可以按下式計(jì)算： 傅里葉級數(shù)
matha_k=\frac{1}{T}\int_{T}x(t)\cdot e^{-jk(\frac{2\pi}{T})t}/math（2） 注意到mathf_k(t)=e^{jk(\frac{2\pi}{T})t}/math是周期為T的函數(shù)，故k 取不同值時(shí)的周期信號具有諧波關(guān)系（即它們都具有一個(gè)共同周期T）。k=0時(shí)，（1）式中對應(yīng)的這一項(xiàng)稱為直流分量，mathk=\pm 1/math時(shí)具有基波頻率math\omega_0=\frac{2\pi}{T}/math，稱為一次諧波或基波，類似的有二次諧波，三次諧波等等。
編輯本段傅里葉級數(shù)的收斂性
傅里葉級數(shù)的收斂性：滿足狄利赫里條件的周期函數(shù)表示成的傅里葉級數(shù)都收斂。狄利赫里條件如下： 在任何周期內(nèi)，x(t)須絕對可積； 傅里葉級數(shù)
在任一有限區(qū)間中，x(t)只能取有限個(gè)最大值或最小值； 在任何有限區(qū)間上，x(t)只能有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)。 吉布斯現(xiàn)象：在x(t)的不可導(dǎo)點(diǎn)上，如果我們只取(1)式右邊的無窮級數(shù)中的有限項(xiàng)作和X(t)，那么X(t)在這些點(diǎn)上會有起伏。一個(gè)簡單的例子是方波信號。
編輯本段三角函數(shù)族的正交性
所謂的兩個(gè)不同向量正交是指它們的內(nèi)積為0，這也就意味著這兩個(gè)向量之間沒有任何相關(guān)性,例如，在三維歐氏空間中，互相垂直的向量之間是正交的。事實(shí)上，正交是垂直在數(shù)學(xué)上的的一種抽象化和一般化。一組n個(gè)互相正交的向量必然是線形無關(guān)的，所以必然可以張成一個(gè)n維空間，也就是說，空間中的任何一個(gè)向量可以用它們來線形表出。三角函數(shù)族的正交性用公式表示出來就是： math\int _{0}^{2\pi}\sin (nx)\cos (mx) \,dx=0;/math 傅里葉級數(shù)
math\int _{0}^{2\pi}\sin (mx)\sin (mx) \,dx=0;(m\ne n)/math math\int _{0}^{2\pi}\cos (mx)\cos (mx) \,dx=0;(m\ne n)/math math\int _{0}^{2\pi}\sin (nx)\sin (nx) \,dx=\pi;/math math\int _{0}^{2\pi}\cos (nx)\cos (nx) \,dx=\pi;/math
編輯本段奇函數(shù)和偶函數(shù)
奇函數(shù)mathf_o(x)/math可以表示為正弦級數(shù)，而偶函數(shù)mathf_e(x)/math則可以表示成余弦級數(shù)： mathf_o(x) = \sum _{-\infty}^{+\infty}b_k \sin(kx);/math 傅里葉級數(shù)
mathf_e(x) = \frac{a_0}{2}+\sum _{-\infty}^{+\infty}a_k\cos(kx);/math 只要注意到歐拉公式: mathe^{j\theta}= \sin \theta+j\cos \theta/math，這些公式便可以很容易從上面傅里葉級數(shù)的公式中導(dǎo)出。
編輯本段廣義傅里葉級數(shù)
任何正交函數(shù)系math\{ \phi(x)\}/math，如果定義在[a,b]上的函數(shù)f(x)只具有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)，那么如果f(x)滿足封閉性方程： math\int _{a}^f^2(x)\,dx=\sum _{k=1}^{\infty}c^{2}_{k}/math (4)， 那么級數(shù)math\sum _{k=1}^{\infty} c_k\phi _k(x)/math (5) 必然收斂于f(x)，其中: mathc_n=\int _{a}^f(x)\phi_n(x)\,dx/math (6)。 傅里葉級數(shù)
事實(shí)上，無論（5）時(shí)是否收斂，我們總有： math\int _{a}^f^2(x)\,dx \ge \sum _{k=1}^{\infty}c^{2}_{k}/math成立，這稱作貝塞爾(Bessel)不等式。此外，式（6）是很容易由正交性推出的，因?yàn)閷τ谌我獾膯挝徽换鵰ath\{e_i\}^{N}_{i=1}/math，向量x在mathe_i/math上的投影總為mathx,e_i/math 。
傅里葉變換簡介
傅里葉級數(shù)得名于法國數(shù)學(xué)家約瑟夫·傅里葉，他提出任何函數(shù)都可以展開為三角級數(shù)。
考慮一個(gè)在區(qū)間 上可積的函數(shù) ，其傅里葉級數(shù)為
其中
由歐拉公式 得
代入（1）可得
令
則可以得到傅里葉級數(shù)的復(fù)數(shù)形式
其中
傅里葉變換可以看作傅里葉級數(shù)的連續(xù)形式。
首先考慮定義在 上的函數(shù)的傅里葉級數(shù)展開：
其中
令
記
則
當(dāng) 時(shí)， ， ， (14) 中的求和變?yōu)榉e分
相應(yīng)地，(12) 變?yōu)?/p>
(16) 稱為傅里葉變換，記作 ；(15) 稱為傅里葉變換的逆變換，記作 。在信號分析中， 稱為信號的時(shí)域表示， 稱為信號的頻域表示。
需要明確的是，不管是用時(shí)域還是用頻域來表示一個(gè)信號，它們代表的都是同一個(gè)信號?？梢詮木€性空間的角度理解這一點(diǎn)。同一個(gè)信號在不同的表象（或者說基向量）下具有不同的坐標(biāo)。同一個(gè)向量在不同表象下的坐標(biāo)可以通過一個(gè)線性變換聯(lián)系起來。如果是有限維的空間，這個(gè)線性變換可以表示為一個(gè)矩陣。而傅里葉變換則是無限維空間不同表象之間的一種變換。舉例來說，在量子力學(xué)中，一個(gè)波函數(shù)的坐標(biāo)表象到動量表象間的變換就是一個(gè)傅里葉變換。
也可以將角頻率 替換為自然頻率 ，有 ，則
一般情況下，我們處理的信號都是離散的。取 在時(shí)間上的離散采樣
是采樣的時(shí)間間隔。傅里葉變換只能作用在連續(xù)函數(shù)上，為此我們引入
其中
為 Dirac 函數(shù)。 稱為 Dirac 梳子，亦稱 Shah 分布，是一個(gè)采樣函數(shù)，常用在數(shù)字信號處理和離散時(shí)間信號分析中。
對 作傅里葉變換
這里利用了 Dirac 函數(shù)的性質(zhì) 。(22) 即為離散時(shí)間傅里葉變換。
下面簡單介紹一下采樣定理。若原信號 不包含高于 的頻率，即 ，則只要采樣頻率 ，時(shí)域采樣就能完全重建原信號。
將 在 上展開為傅里葉級數(shù)
其中
注意到 時(shí) ，而 ，故 時(shí) ，因此 (24) 可改寫為
代入 (23)，得
這里 。(26) 說明原信號的傅里葉變換可以由采樣信號確定，進(jìn)而可以利用傅里葉逆變換重建原信號。
此外，不難發(fā)現(xiàn)
是一個(gè)周期為 的周期函數(shù)。離散傅里葉變換 可以看作原信號連續(xù)傅里葉變換 的周期延拓，時(shí)域的離散化造成了頻域的周期化。
離散時(shí)間傅里葉變換在頻域上仍然是連續(xù)的。如果把頻域也離散化，就得到了離散傅里葉變換。
也可以寫成矩陣形式
其中 。
離散傅里葉變換的逆變換為
直接根據(jù)定義計(jì)算離散傅里葉變換的復(fù)雜度是 ?？焖俑道锶~變換是快速計(jì)算離散傅里葉變換及其逆變換的一類數(shù)值算法。FFT 通過把 DFT 矩陣分解為稀疏矩陣之積，能夠?qū)?fù)雜度降低到 。
在 Python 中可以利用 scipy.fftpack 進(jìn)行快速傅里葉變換。
Python之OpenGL筆記(19)：正弦波疊加為方波的GLSL實(shí)現(xiàn)
1、正弦波疊加為方波的GLSL實(shí)現(xiàn)；
1、傅里葉函數(shù)分解方波公式：
??f(y) = 4/PI * (sinx+ sin3x/3 + sin5x/5 + ...);
2、實(shí)際程序里面公式為：
??f(y) = sinx+ sin3x/3 + sin5x/5 + ...
3、鍵盤控制
??加入了正弦波合成方波的處理，使用箭頭鍵移動正弦波，使用上下箭頭進(jìn)行振幅調(diào)整，使用+，-號來調(diào)整正弦波疊加的次數(shù)。
1、他山隨悟博客
Python正弦函數(shù)冪級數(shù)展開（在x=0展開）如下式所示。利用循環(huán)結(jié)構(gòu)，實(shí)現(xiàn)正弦技術(shù)的傅里葉展開？
用泰勒級數(shù)
令x0=0
則f(x)=sinx=f(0)+f'(0)/1!*(x-0)+f''(0)/2!*(x-0)^2+……+f(n)(0)/n!*(x-0)^n+……
f'(x)=cosx,f''(x)=-sinx,f'''(x)=-cosx,f''''(x)=sinx=f(x),形成循環(huán)
所以sinx=0+1/1!*x+0/2!*x+(-1)/3!*x^3……+f(n)(0)/n!*(x-0)^n+……
即sinx=x/1!-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7!+……
同理
f(x)=cosx,
f'(x)=-sinx,f''(x)=-cosx,f'''(x)=sinx,f''''(x)=cosx,也形成循環(huán)
所以cosx=1-x^2/2!+x^4/4!-x^6/6!+……
計(jì)算機(jī)視覺 圖像的傅里葉變換
傅里葉基礎(chǔ)
法國數(shù)學(xué)家吉恩·巴普提斯特·約瑟夫·傅里葉被世人銘記的最大的貢獻(xiàn)是：他指出任何周期函數(shù)都可以表示為不同頻率的正弦和/或余弦之和的形式，每個(gè)正弦項(xiàng)和/或余弦項(xiàng)乘以不同的系數(shù)（現(xiàn)在稱該和為傅里葉級數(shù)）。無論函數(shù)多么復(fù)雜，只要它是周期的，并且滿足某些適度的數(shù)學(xué)條件，都可以用這樣的和來表示。即一個(gè)復(fù)雜的函數(shù)可以表示為簡單的正弦和余弦之和。甚至非周期函數(shù)（單該曲線下的面積是有限的）也可以用正弦和/或許·余弦乘以加權(quán)函數(shù)的積分來表示。在這種情況下的公式就是傅里葉公式。
比如說我們以制作一個(gè)飲料的過程，使用時(shí)域的角度來看就是這樣：
這里是什么意思呢，就是說一個(gè)飲料的制作需要在18點(diǎn)整放1個(gè)單位冰糖、3個(gè)單位紅豆、2個(gè)單位的綠豆、4個(gè)單位的西紅柿，還有1個(gè)單位的純凈水。然后再18：01分只需要假如一個(gè)單位的純凈水。后面也是一致。而頻域是怎么描述這件事的呢？
具體來說就是說他發(fā)現(xiàn)了一個(gè)規(guī)律，就是說這個(gè)制作過程，每分鐘都要加入冰糖，每兩分鐘都要加入紅豆，每三分鐘都要加入一次綠豆…。對于時(shí)域角度我們這樣描述。
對于頻域角度我們這樣描述這件事，用直方圖表示就是：
如果要考慮更精準(zhǔn)的時(shí)間精度，我們就要引入相位這個(gè)概念。他是一個(gè)和時(shí)間差有關(guān)的一個(gè)表述。
這里我們說明一下就是時(shí)域和頻域的表述是互逆的，對于時(shí)域我們是時(shí)間為橫坐標(biāo)，振幅為縱坐標(biāo)。對于頻域我們以頻率為橫坐標(biāo)，振幅為縱坐標(biāo)。但是可以看得出來頻域的表述更加簡單，但是比較抽象，不容易理解。傅里葉說： 任何連續(xù)周期信號，可以由一組適當(dāng)?shù)恼仪€組合而成。 注意這里是一組而不是一個(gè)。比如對于這樣的一個(gè)圖像： f(x)=3 np.sin(0.8 x)+7 np.sin(1/3 x)+2 np.sin(0.2 x)
看上去是毫無規(guī)律可言吧，但是它也可以由一組正弦函數(shù)組成。
他們是可逆的，想不到吧，亂七八糟的東西也有規(guī)律了。但是他們就是這樣組合而成的嗎？不可能吧，所以這里就是不是同時(shí)開始的一組余弦函數(shù)，在疊加時(shí)要體現(xiàn)開始的時(shí)間。也就說組合的函數(shù)他們的開始時(shí)間是不一樣的。在這里分別對應(yīng)0，2，3.看公式就看出來啦。這里多說一嘴就是說傅里葉變換從時(shí)域角度來看，這個(gè)世界是動態(tài)的！從頻域角度來看這個(gè)世界是靜止的。從數(shù)學(xué)角度來講：傅里葉變換將一個(gè)任意的周期函數(shù)分解成為無窮個(gè)正弦函數(shù)的和的形式。從物理角度來講：傅里葉變換實(shí)現(xiàn)了將信號從空間域到頻率域的轉(zhuǎn)換。
傅里葉基礎(chǔ)numpy實(shí)現(xiàn)
python是可以實(shí)現(xiàn)傅里葉變換的，這里就要說到三劍客的numpy了。對應(yīng)的函數(shù)是： numpy.fft.fft2 返回一個(gè)復(fù)數(shù)數(shù)組(complex ndarray)。 numpy.fft.fftshift 這個(gè)函數(shù)時(shí)表示把將零頻率分量移到頻譜中心。
還要設(shè)置頻譜的范圍 20*np.log(np.abs(fshift)) ，對于圖像來說就是255了。
結(jié)果是：
原圖和頻譜圖像。
逆傅里葉numpy實(shí)現(xiàn)
對于傅里葉的逆操作這里沒有什么可說的，就是把頻域圖像轉(zhuǎn)回原圖像。
函數(shù)是： numpy.fft.ifft2 ，那么還有一個(gè)操作就是把中間移動回去對啊。 numpy.fft.ifftshift 。 iimg = np.abs(逆傅里葉變換結(jié)果) 而第二個(gè)圖就表示低頻部分，邊緣就表示為高頻部分。
首先我們要進(jìn)行傅里葉變換吧，才可以進(jìn)行逆操作。結(jié)果是：
完全一致！?。?/p>
Python科學(xué)計(jì)算——復(fù)雜信號FFT
FFT (Fast Fourier Transform, 快速傅里葉變換) 是離散傅里葉變換的快速算法，也是數(shù)字信號處理技術(shù)中經(jīng)常會提到的一個(gè)概念。用快速傅里葉變換能將時(shí)域的數(shù)字信號轉(zhuǎn)換為頻域信號，轉(zhuǎn)換為頻域信號后我們可以很方便地分析出信號的頻率成分。
當(dāng)我們把雙頻信號FFT示例中的 fft_size 的值改為 2**12 時(shí)，這時(shí)，基頻為 16Hz，不能被 1kHz整除，所以 1kHz 處發(fā)生了頻譜泄露，而它能被 4kHz 整除，所以 4kHz 可以很好地被采樣。
由于波形的前后不是連續(xù)的，出現(xiàn)波形跳變，而跳變處有著非常廣泛的頻譜，因此FFT的結(jié)果中出現(xiàn)了頻譜泄漏。
為了減小FFT所截取的數(shù)據(jù)段前后的跳變，可以對數(shù)據(jù)先乘以一個(gè)窗函數(shù)，使得其前后數(shù)據(jù)能平滑過渡。常用的hanning窗函數(shù)的定義如下：
50Hz 正弦波與hann窗函數(shù)乘積之后的重復(fù)波形如下：
我們對頻譜泄漏示例中的1kHz 和 4kHz 信號進(jìn)行了 hann 窗函數(shù)處理，可以看出能量更加集中在 1kHz 和 4kHz，在一定程度上抑制了頻譜泄漏。
以 1kHz 三角波為例，我們知道三角波信號中含有豐富的頻率信息，它的傅里葉級數(shù)展開為：
當(dāng)數(shù)字信號的頻率隨時(shí)間變化時(shí)，我們稱之為掃頻信號。以頻率隨時(shí)間線性變化的掃頻信號為例，其數(shù)學(xué)形式如下：
其頻率隨時(shí)間線性變化，當(dāng)我們在 [0,1] 的時(shí)間窗口對其進(jìn)行采樣時(shí)，其頻率范圍為 0~5kHz。當(dāng)時(shí)間是連續(xù)時(shí)，掃頻信號的頻率也是連續(xù)的。但是在實(shí)際的處理中，是離散的點(diǎn)采樣，因此時(shí)間是不連續(xù)的，這就使掃頻信號的快速傅里葉變換問題退化為多點(diǎn)頻信號快速傅里葉變換問題。其快速傅里葉變換得到的頻譜圖如下所示：
以 50Hz 正弦信號相位調(diào)制到 1kHz 的信號為例，其信號形式如下：
它的時(shí)域波形，頻率響應(yīng)和相位響應(yīng)如下圖所示：
以掃頻信號為例，當(dāng)我們要探究FFT中的能量守恒時(shí)，我們要回歸到信號最初的形式：
本文題目：python中傅里葉函數(shù),python 離散傅里葉變換
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