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C#實(shí)現(xiàn)平衡多路查找樹(B樹)

寫在前面:搞了SQL Server時(shí)間也不短了，對(duì)B樹的概念也算是比較了解。去網(wǎng)上搜也搜不到用C#或java實(shí)現(xiàn)的B樹，干脆自己寫一個(gè)。實(shí)現(xiàn)B樹的過程中也對(duì)很多細(xì)節(jié)有了更深的了解。

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簡(jiǎn)  介

B樹是一種為輔助存儲(chǔ)設(shè)計(jì)的一種數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，在1970年由R.Bayer和E.mccreight提出。在文件系統(tǒng)和數(shù)據(jù)庫(kù)中為了減少IO操作大量被應(yīng)用。遺憾的是，他們并沒有說明為什么取名為B樹，但按照B樹的性質(zhì)來說B通常被解釋為Balance。在國(guó)內(nèi)通常有說是B-樹，其實(shí)并不存在B-樹，只是由英文B-Tree直譯成了B-樹。

一個(gè)典型的 B樹如圖1所示。

   

圖1.一個(gè)典型的B樹

符合如下特征的樹才可以稱為B樹：

  •     根節(jié)點(diǎn)如果不是葉節(jié)點(diǎn)，則至少需要兩顆子樹
  •     每個(gè)節(jié)點(diǎn)中有N個(gè)元素，和N+1個(gè)指針。每個(gè)節(jié)點(diǎn)中的元素不得小于最大節(jié)點(diǎn)容量的1/2
  •     所有的葉子位于同一層級(jí)（這也是為什么叫平衡樹）
  •     父節(jié)點(diǎn)元素向左的指針必須小于節(jié)點(diǎn)元素，向右的指針必須大于節(jié)點(diǎn)元素，比如圖1中Q的左指針必須小于Q，右指針必須大于Q

為什么要使用B樹

在計(jì)算機(jī)系統(tǒng)中，存儲(chǔ)設(shè)備一般分為兩種，一種為主存（比如說CPU二級(jí)緩存，內(nèi)存等），主存一般由硅制成，速度非?？?，但每一個(gè)字節(jié)的成本往往高于輔助存儲(chǔ)設(shè)備很多。還有一類是輔助存儲(chǔ)(比如硬盤，磁盤等),這種設(shè)備通常容量會(huì)很大，成本也會(huì)低很多，但是存取速度非常的慢，下面我們來看一下最常見的輔存 --硬盤。    硬盤作為主機(jī)中除了唯一的一個(gè)機(jī)械存儲(chǔ)設(shè)備，速度遠(yuǎn)遠(yuǎn)落后于CPU和內(nèi)存。圖2是一個(gè)典型的磁盤驅(qū)動(dòng)器。

   

    圖2.典型的磁盤驅(qū)動(dòng)器工作原理

一個(gè)驅(qū)動(dòng)器包含若干盤片，以一定的速度繞著主軸旋轉(zhuǎn)（比如PC常見的轉(zhuǎn)速是7200RPM,服務(wù)器級(jí)別的有10000RPM和15000RPM的）,每個(gè)盤片表面覆蓋一個(gè)可磁化的物質(zhì).每個(gè)盤片利用搖臂末端的磁頭進(jìn)行讀寫。搖臂是物理連接在一起的，通過移動(dòng)遠(yuǎn)離或貼近主軸。

因?yàn)橛袡C(jī)械移動(dòng)的部分，所以磁盤的速度相比內(nèi)存而言是非常的慢。這個(gè)機(jī)械移動(dòng)包括兩個(gè)部分：盤旋轉(zhuǎn)和磁臂移動(dòng)。僅僅對(duì)于盤旋轉(zhuǎn)來說，比如常見的 7200RPM的硬盤，轉(zhuǎn)一圈需要60/7200≈8.33ms,換句話說，讓磁盤完整的旋轉(zhuǎn)一圈找到所需要的數(shù)據(jù)需要8.33ms,這比內(nèi)存常見的 100ns慢100000倍左右，這還不包括移動(dòng)搖臂的時(shí)間。

因?yàn)闄C(jī)械移動(dòng)如此的花時(shí)間，磁盤會(huì)每次讀取多個(gè)數(shù)據(jù)項(xiàng)。一般來說最小單位為簇。而對(duì)于SQL Server來說，則為一頁(yè)（8K）。

但由于要查找的數(shù)據(jù)往往很大，不能全部裝入主存。需要磁盤來輔助存儲(chǔ)。而讀取磁盤則是占處理時(shí)間最重要的一部分，所以如果我們盡可能的減少對(duì)磁盤的IO操作，則會(huì)大大加快速度。這也是B樹設(shè)計(jì)的初衷。

B樹通過將根節(jié)點(diǎn)放入主存，其它所有節(jié)點(diǎn)放入輔存來大大減少對(duì)于輔存IO的操作。比如圖1中，我如果想查找元素Y，僅僅需要從主存中取得根節(jié)點(diǎn)，再根據(jù)根節(jié)點(diǎn)的右指針做一次IO讀，再根據(jù)這個(gè)節(jié)點(diǎn)最右的指針做一次IO讀，就可以找到元素Y。相比其他數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，僅僅做兩次輔存IO讀大大減少了查找的時(shí)間。

B樹的高度

根據(jù)上面的例子我們可以看出，對(duì)于輔存做IO讀的次數(shù)取決于B樹的高度。而B樹的高度由什么決定的呢？

根據(jù)B樹的高度公式:   

其中T為度數(shù)（每個(gè)節(jié)點(diǎn)包含的元素個(gè)數(shù)），N為總元素個(gè)數(shù).

我們可以看出T對(duì)于樹的高度有決定性的影響。因此如果每個(gè)節(jié)點(diǎn)包含更多的元素個(gè)數(shù)，在元素個(gè)數(shù)相同的情況下，則更有可能減少B樹的高度。這也是為什么 SQL Server中需要盡量以窄鍵建立聚集索引。因?yàn)镾QL Server中每個(gè)節(jié)點(diǎn)的大小為8092字節(jié)，如果減少鍵的大小，則可以容納更多的元素，從而減少了B樹的高度，提升了查詢的性能。

上面B樹高度的公式也可以進(jìn)行推導(dǎo)得出，將每一層級(jí)的的元素個(gè)數(shù)加起來，比如度為T的節(jié)點(diǎn)，根為1個(gè)節(jié)點(diǎn)，第二層至少為2個(gè)節(jié)點(diǎn)，第三層至少為2t個(gè)節(jié)點(diǎn)，第四層至少為2t*t個(gè)節(jié)點(diǎn)。將所有最小節(jié)點(diǎn)相加，從而得到節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)N的公式:

              

兩邊取對(duì)數(shù)，則可以得到樹的高度公式。

這也是為什么開篇所說每個(gè)節(jié)點(diǎn)必須至少有兩個(gè)子元素，因?yàn)楦鶕?jù)高度公式，如果每個(gè)節(jié)點(diǎn)只有一個(gè)元素，也就是T=1的話，那么高度將會(huì)趨于正無窮。

B樹的實(shí)現(xiàn)

講了這么多概念，該到實(shí)現(xiàn)B樹的時(shí)候了。

首先需要定義B樹的節(jié)點(diǎn)，如代碼1所示。

 
 
 
 
      
  
  
  
  1. public class TreeNodewhere T:IComparable  
    2.   
  
  
  
  2. {  
    3.   
  
  
  
  3.     public int elementNum = 0;//元素個(gè)數(shù)  
    4.   
  
  
  
  4.     public IList Elements = new List();//元素集合,存在elementNum個(gè)  
    5.   
  
  
  
  5.     public IList> Pointer = new List>();//元素指針，存在elementNum+1  
    6.   
  
  
  
  6.     public bool IsLeaf = true;//是否為葉子節(jié)點(diǎn)  
    7.   
  
  
  
  7.       
    8.   
  
  
  
  8. } 
    9.

代碼1.聲明節(jié)點(diǎn)

我給每個(gè)節(jié)點(diǎn)四個(gè)屬性，分別為節(jié)點(diǎn)包含的元素個(gè)數(shù)，節(jié)點(diǎn)的元素?cái)?shù)組，節(jié)點(diǎn)的指針數(shù)組和節(jié)點(diǎn)是否為葉子節(jié)點(diǎn)。我這里對(duì)節(jié)點(diǎn)存儲(chǔ)的元素類型使用了泛型T，并且必須實(shí)現(xiàn)ICompable接口使得節(jié)點(diǎn)所存儲(chǔ)的元素可以互相比較。

有了節(jié)點(diǎn)的定義后，就可以創(chuàng)建B樹了，如代碼2所示。

 
 
 
 
      
  
  
  
  1. //創(chuàng)建一個(gè)b樹,也是類的構(gòu)造函數(shù)  
    2.   
  
  
  
  2. public BTree()  
    3.   
  
  
  
  3. {  
    4.   
  
  
  
  4.  
    5.   
  
  
  
  5.     RootNode = new TreeNode();  
    6.   
  
  
  
  6.     RootNode.elementNum = 0;  
    7.   
  
  
  
  7.     RootNode.IsLeaf = true;  
    8.   
  
  
  
  8.     //將節(jié)點(diǎn)寫入磁盤，做一次IO寫  
    9.   
  
  
  
  9. } 
    10.

代碼2.初始化B樹

這是BTree類的構(gòu)造函數(shù)，初始化一個(gè)根節(jié)點(diǎn)。全部代碼我稍后給出。

下面則要考慮B樹的插入，其實(shí)B樹的構(gòu)建過程也是向B樹插入元素的過程.B樹的插入相對(duì)來說比較復(fù)雜，需要考慮很多因素。

首先，每一個(gè)節(jié)點(diǎn)可容納的元素個(gè)數(shù)是一樣并且有限的，這里我聲明了一個(gè)常量最為每個(gè)節(jié)點(diǎn),如代碼3所示。

 
 
 
 
      
  
  
  
  1. const int NumPerNode = 4; 
    2.

代碼3.設(shè)置每個(gè)節(jié)點(diǎn)最多容納的元素個(gè)數(shù)

對(duì)于B樹來說，節(jié)點(diǎn)增加的唯一方式就是節(jié)點(diǎn)分裂，這個(gè)概念和SQL SERVER中的頁(yè)分裂是一樣的。

頁(yè)分裂的過程首先需要生成新頁(yè)，然后將大概一半的元素移動(dòng)到新頁(yè)中，然后將中間元素提升到父節(jié)點(diǎn)。比如我想在現(xiàn)有的元素中插入8，造成已滿的頁(yè)進(jìn)行分裂，如圖3所示:

   

    圖3.向已經(jīng)滿的葉子節(jié)點(diǎn)插入元素會(huì)造成頁(yè)分裂

通過葉子分裂的概念不難看出，葉子節(jié)點(diǎn)分裂才會(huì)造成非葉子節(jié)點(diǎn)元素的增加。最終傳遞到根元素。而根元素的分裂是樹長(zhǎng)高的唯一途徑。

在C#中的實(shí)現(xiàn)代碼如代碼4所示。

 
 
 
 
      
  
  
  
  1. //B樹中的節(jié)點(diǎn)分裂  
    2.   
  
  
  
  2.  public void BTreeSplitNode(TreeNode FatherNode, int position, TreeNode NodeToBeSplit)  
    3.   
  
  
  
  3.  {  
    4.   
  
  
  
  4.      TreeNode newNode = new TreeNode();//創(chuàng)建新節(jié)點(diǎn)，容納分裂后被移動(dòng)的元素  
    5.   
  
  
  
  5.      newNode.IsLeaf = NodeToBeSplit.IsLeaf;//新節(jié)點(diǎn)的層級(jí)和原節(jié)點(diǎn)位于同一層  
    6.   
  
  
  
  6.      newNode.elementNum = NumPerNode - (NumPerNode / 2 + 1);//新節(jié)點(diǎn)元素的個(gè)數(shù)大約為分裂節(jié)點(diǎn)的一半  
    7.   
  
  
  
  7.      for (int i = 1; i < NumPerNode - (NumPerNode / 2 + 1); i++)  
    8.   
  
  
  
  8.      {  
    9.   
  
  
  
  9.          //將原頁(yè)中后半部分復(fù)制到新頁(yè)中  
    10.   
  
  
  
  10.          newNode.Elements[i - 1] = NodeToBeSplit.Elements[i + NumPerNode / 2];  
    11.   
  
  
  
  11.      }  
    12.   
  
  
  
  12.      if (!NodeToBeSplit.IsLeaf)//如果不是葉子節(jié)點(diǎn)，將指針也復(fù)制過去  
    13.   
  
  
  
  13.      {  
    14.   
  
  
  
  14.          for (int j = 1; j < NumPerNode / 2 + 1; j++)  
    15.   
  
  
  
  15.          {  
    16.   
  
  
  
  16.              newNode.Pointer[j - 1] = NodeToBeSplit.Pointer[NumPerNode / 2];  
    17.   
  
  
  
  17.          }  
    18.   
  
  
  
  18.      }  
    19.   
  
  
  
  19.      NodeToBeSplit.elementNum = NumPerNode / 2;//原節(jié)點(diǎn)剩余元素個(gè)數(shù)  
    20.   
  
  
  
  20.  
    21.   
  
  
  
  21.      //將父節(jié)點(diǎn)指向子節(jié)點(diǎn)的指針向后推一位  
    22.   
  
  
  
  22.      for (int k = FatherNode.elementNum + 1; k > position + 1; k--)  
    23.   
  
  
  
  23.      {  
    24.   
  
  
  
  24.          FatherNode.Pointer[k] = FatherNode.Pointer[k - 1];  
    25.   
  
  
  
  25.      }  
    26.   
  
  
  
  26.      //將父節(jié)點(diǎn)的元素向后推一位  
    27.   
  
  
  
  27.      for (int k = FatherNode.elementNum; k > position + 1; k--)  
    28.   
  
  
  
  28.      {  
    29.   
  
  
  
  29.          FatherNode.Elements[k] = FatherNode.Elements[k - 1];  
    30.   
  
  
  
  30.      }  
    31.   
  
  
  
  31.      //將被分裂的頁(yè)的中間節(jié)點(diǎn)插入父節(jié)點(diǎn)  
    32.   
  
  
  
  32.      FatherNode.Elements[position - 1] = NodeToBeSplit.Elements[NumPerNode / 2];  
    33.   
  
  
  
  33.      //父節(jié)點(diǎn)元素大小+1  
    34.   
  
  
  
  34.      FatherNode.elementNum += 1;  
    35.   
  
  
  
  35.      //將FatherNode,NodeToBeSplit,newNode寫回磁盤,三次IO寫操作  
    36.   
  
  
  
  36.  
    37.   
  
  
  
  37.  } 
    38.

代碼4.分裂節(jié)點(diǎn)

通過概念和代碼不難看出，節(jié)點(diǎn)的分裂相對(duì)比較消耗IO，這也是為什么SQL Server中需要一些最佳實(shí)現(xiàn)比如不用GUID做聚集索引，或是設(shè)置填充因子等來減少頁(yè)分裂。

而如果需要插入元素的節(jié)點(diǎn)不滿，則不需要頁(yè)分裂，則需要從根開始查找，找到需要被插入的節(jié)點(diǎn)，如代碼5所示。

 
 
 
 
      
  
  
  
  1. //在節(jié)點(diǎn)非滿時(shí)尋找插入節(jié)點(diǎn)  
    2.   
  
  
  
  2. public void BTreeInsertNotFull(TreeNode Node, T KeyWord)  
    3.   
  
  
  
  3. {  
    4.   
  
  
  
  4.     int i=Node.elementNum;  
    5.   
  
  
  
  5.     //如果是葉子節(jié)點(diǎn)，則尋找合適的位置直接插入  
    6.   
  
  
  
  6.     if (Node.IsLeaf)  
    7.   
  
  
  
  7.     {  
    8.   
  
  
  
  8.           
    9.   
  
  
  
  9.         while (i >= 1 && KeyWord.CompareTo(Node.Elements[i - 1]) < 0)  
    10.   
  
  
  
  10.         {  
    11.   
  
  
  
  11.             Node.Elements[i] = Node.Elements[i - 1];//所有的元素后推一位  
    12.   
  
  
  
  12.             i -= 1;  
    13.   
  
  
  
  13.         }  
    14.   
  
  
  
  14.         Node.Elements[i - 1] = KeyWord;//將關(guān)鍵字插入節(jié)點(diǎn)  
    15.   
  
  
  
  15.         Node.elementNum += 1;  
    16.   
  
  
  
  16.         //將節(jié)點(diǎn)寫入磁盤，IO寫+1  
    17.   
  
  
  
  17.     }  
    18.   
  
  
  
  18.     //如果是非葉子節(jié)點(diǎn)  
    19.   
  
  
  
  19.     else 
    20.   
  
  
  
  20.     {  
    21.   
  
  
  
  21.         while (i >= 1 && KeyWord.CompareTo(Node.Elements[i - 1]) < 0)  
    22.   
  
  
  
  22.         {  
    23.   
  
  
  
  23.             i -= 1;  
    24.   
  
  
  
  24.         }  
    25.   
  
  
  
  25.         //這步將指針?biāo)赶虻墓?jié)點(diǎn)讀入內(nèi)存,IO讀+1  
    26.   
  
  
  
  26.         if (Node.Pointer[i].elementNum == NumPerNode)  
    27.   
  
  
  
  27.         {  
    28.   
  
  
  
  28.             //如果子節(jié)點(diǎn)已滿，進(jìn)行節(jié)點(diǎn)分裂  
    29.   
  
  
  
  29.             BTreeSplitNode(Node, i, Node.Pointer[i]);  
    30.   
  
  
  
  30.  
    31.   
  
  
  
  31.         }  
    32.   
  
  
  
  32.         if (KeyWord.CompareTo(Node.Elements[i - 1]) > 0)  
    33.   
  
  
  
  33.         {  
    34.   
  
  
  
  34.             //根據(jù)關(guān)鍵字的值決定插入分裂后的左孩子還是右孩子  
    35.   
  
  
  
  35.             i += 1;  
    36.   
  
  
  
  36.         }  
    37.   
  
  
  
  37.         //迭代找葉子，找到葉子節(jié)點(diǎn)后插入  
    38.   
  
  
  
  38.         BTreeInsertNotFull(Node.Pointer[i], KeyWord);  
    39.   
  
  
  
  39.            
    40.   
  
  
  
  40.  
    41.   
  
  
  
  41.     }  
    42.   
  
  
  
  42. } 
    43.

代碼5.插入

通過代碼5可以看出，我們沒有進(jìn)行任何迭代。而是從根節(jié)點(diǎn)開始遇到滿的節(jié)點(diǎn)直接進(jìn)行分裂。從而減少了性能損失。

再將根節(jié)點(diǎn)分裂的特殊情況考慮進(jìn)去，我們從而將插入操作合為一個(gè)函數(shù)，如代碼6所示。

 
 
 
 
      
  
  
  
  1. public void BtreeInsert(T KeyWord)  
    2.   
  
  
  
  2. {  
    3.   
  
  
  
  3.     if (RootNode.elementNum == NumPerNode)  
    4.   
  
  
  
  4.     {  
    5.   
  
  
  
  5.  
    6.   
  
  
  
  6.         //如果根節(jié)點(diǎn)滿了，則對(duì)跟節(jié)點(diǎn)進(jìn)行分裂  
    7.   
  
  
  
  7.         TreeNode newRoot = new TreeNode();  
    8.   
  
  
  
  8.         newRoot.elementNum = 0;  
    9.   
  
  
  
  9.         newRoot.IsLeaf = false;  
    10.   
  
  
  
  10.         //將newRoot節(jié)點(diǎn)變?yōu)楦?jié)點(diǎn)  
    11.   
  
  
  
  11.         BTreeSplitNode(newRoot, 1, RootNode);  
    12.   
  
  
  
  12.         //分裂后插入新根的樹  
    13.   
  
  
  
  13.         BTreeInsertNotFull(newRoot, KeyWord);  
    14.   
  
  
  
  14.         //將樹的根進(jìn)行變換  
    15.   
  
  
  
  15.         RootNode = newRoot;  
    16.   
  
  
  
  16.     }  
    17.   
  
  
  
  17.     else 
    18.   
  
  
  
  18.     {  
    19.   
  
  
  
  19.         //如果根節(jié)點(diǎn)沒有滿，直接插入  
    20.   
  
  
  
  20.         BTreeInsertNotFull(RootNode, KeyWord);  
    21.   
  
  
  
  21.     }  
    22.   
  
  
  
  22. } 
    23.

代碼6.插入操作

現(xiàn)在，我們就可以通過插入操作，來實(shí)現(xiàn)一個(gè)B樹了。

B樹的查找

既然B樹生成好了，我們就可以對(duì)B樹進(jìn)行查找了。B樹的查找實(shí)現(xiàn)相對(duì)簡(jiǎn)單，僅僅是從跟節(jié)點(diǎn)進(jìn)行迭代，如果找到元素則返回節(jié)點(diǎn)和位置，如果找不到則返回NULL.

 
 
 
 
      
  
  
  
  1. //從B樹中搜索節(jié)點(diǎn)，存在則返回節(jié)點(diǎn)和元素在節(jié)點(diǎn)的值，否則返回NULL  
    2.   
  
  
  
  2. public returnValue BTreeSearch(TreeNode rootNode, T keyword)  
    3.   
  
  
  
  3. {  
    4.   
  
  
  
  4.     int i = 1;  
    5.   
  
  
  
  5.       
    6.   
  
  
  
  6.     while (i <= rootNode.elementNum && keyword.CompareTo(rootNode.Elements[i - 1])>0)  
    7.   
  
  
  
  7.     {  
    8.   
  
  
  
  8.         i = i + 1;  
    9.   
  
  
  
  9.     }  
    10.   
  
  
  
  10.     if (i <= rootNode.elementNum && keyword.CompareTo(rootNode.Elements[i - 1]) == 0)  
    11.   
  
  
  
  11.     {  
    12.   
  
  
  
  12.         returnValue r = new returnValue();  
    13.   
  
  
  
  13.         r.node = rootNode.Pointer[i];  
    14.   
  
  
  
  14.         r.position = i;  
    15.   
  
  
  
  15.         return r;  
    16.   
  
  
  
  16.     }  
    17.   
  
  
  
  17.     if (rootNode.IsLeaf)  
    18.   
  
  
  
  18.     {  
    19.   
  
  
  
  19.         return null;  
    20.   
  
  
  
  20.     }  
    21.   
  
  
  
  21.     else 
    22.   
  
  
  
  22.     {  
    23.   
  
  
  
  23.         //從磁盤將內(nèi)容讀出來,做一次IO讀  
    24.   
  
  
  
  24.         return BTreeSearch(rootNode.Pointer[i], keyword);  
    25.   
  
  
  
  25.     }  
    26.   
  
  
  
  26. } 
    27.

代碼7.對(duì)B樹進(jìn)行查找

順帶說一下，returnValue類僅僅是對(duì)返回值的一個(gè)封裝，代碼如代碼8所示。

 
 
 
 
      
  
  
  
  1. public class returnValue where T : IComparable  
    2.   
  
  
  
  2. {  
    3.   
  
  
  
  3.     public TreeNode node;  
    4.   
  
  
  
  4.     public int position;  
    5.   
  
  
  
  5. } 
    6.

代碼8.returnValue的代碼

總  結(jié)

本文從B樹的概念原理，以及為什么需要B樹到B樹的實(shí)現(xiàn)來闡述B樹的概念。B樹是一種非常優(yōu)雅的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)。是關(guān)系數(shù)據(jù)庫(kù)和文件系統(tǒng)的核心算法。對(duì)于B樹的了解會(huì)使得你對(duì)于數(shù)據(jù)庫(kù)的學(xué)習(xí)更加系統(tǒng)和容易。

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網(wǎng)頁(yè)名稱：C#實(shí)現(xiàn)平衡多路查找樹(B樹)
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