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在Python中使用逆變換方法生成隨機(jī)變量

目標(biāo)

在仿真理論中，生成隨機(jī)變量是最重要的“構(gòu)建塊”之一，而這些隨機(jī)變量大多是由均勻分布的隨機(jī)變量生成的。其中一種可以用來產(chǎn)生隨機(jī)變量的方法是逆變換法。在本文中，我將向您展示如何使用Python中的逆變換方法生成隨機(jī)變量(包括離散和連續(xù)的情況)。

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概念

給定隨機(jī)變量U，其中U在(0,1)中均勻分布。 假設(shè)我們要生成隨機(jī)變量X，其中累積分布函數(shù)(CDF)為：

逆變換方法的思想是通過如下使用其逆CDF從任何概率分布中生成一個(gè)隨機(jī)數(shù)。

對(duì)于離散隨機(jī)變量，步驟略有不同。假設(shè)我們想生成一個(gè)離散隨機(jī)變量X的值，它具有一個(gè)概率質(zhì)量函數(shù)(PMF)

為了生成X的值，需要生成一個(gè)隨機(jī)變量U，U在(0,1)中均勻分布，并且定義

通過以上步驟，我們可以按如下方法創(chuàng)建逆變換方法的算法。

連續(xù)隨機(jī)數(shù)代碼實(shí)現(xiàn)

首先，我們實(shí)現(xiàn)此方法以生成連續(xù)隨機(jī)變量。 假設(shè)我們要模擬一個(gè)隨機(jī)變量X，該變量遵循均值λ(即X?EXP(λ))的指數(shù)分布。 我們知道指數(shù)分布的概率分布函數(shù)(PDF)是

 CDF如下

然后，我們可以使用以下的方法寫出逆CDF

在Python中，我們可以通過如下編寫這些代碼行來簡(jiǎn)單地實(shí)現(xiàn)它。

 
 
 
 
    
  
  
  
  
  1. ### Generate exponential distributed random variables given the mean  
    2.   
  
  
  
  2. ### and number of random variables  
    3.   
  
  
  
  3. def exponential_inverse_trans(n=1,mean=1):  
    4.   
  
  
  
  4. U=uniform.rvs(size=n)  
    5.   
  
  
  
  5. X=-mean*np.log(1-U)  
    6.   
  
  
  
  6. actual=expon.rvs(size=n,scale=mean)  
    7.   
  
  
  
  7.  
    8.   
  
  
  
  8. plt.figure(figsize=(12,9))  
    9.   
  
  
  
  9. plt.hist(X, bins=50, alpha=0.5, label="Generated r.v.")  
    10.   
  
  
  
  10. plt.hist(actual, bins=50, alpha=0.5, label="Actual r.v.")  
    11.   
  
  
  
  11. plt.title("Generated vs Actual %i Exponential Random Variables" %n)  
    12.   
  
  
  
  12. plt.legend()  
    13.   
  
  
  
  13. plt.show()  
    14.   
  
  
  
  14. return X 
    15.

 我們可以通過運(yùn)行以下示例來嘗試上面的代碼。 請(qǐng)注意，由于我們要生成隨機(jī)變量，因此結(jié)果可能會(huì)有所不同。

 
 
 
 
    
  
  
  
  
  1. cont_example1=exponential_inverse_trans(n=100,mean=4)  
    2.   
  
  
  
  2. cont_example2=exponential_inverse_trans(n=500,mean=4)  
    3.   
  
  
  
  3. cont_example3=exponential_inverse_trans(n=1000,mean=4) 
    4.

看起來很有趣。 如果將其與實(shí)際變量進(jìn)行比較，我們可以看到生成的隨機(jī)變量具有非常相似的結(jié)果。 可以調(diào)整均值(請(qǐng)注意，我為expon.rvs()函數(shù)定義的均值是指數(shù)分布中的比例參數(shù))和/或 生成的隨機(jī)變量的數(shù)量，以查看不同的結(jié)果。

離散隨機(jī)數(shù)實(shí)現(xiàn)代碼

對(duì)于離散隨機(jī)變量情況，假設(shè)我們要模擬遵循以下分布的離散隨機(jī)變量情況X

首先，我們編寫函數(shù)以使用這些代碼行為一個(gè)樣本生成離散隨機(jī)變量。

 
 
 
 
    
  
  
  
  
  1. ### Generate arbitary discrete distributed random variables given  
    2.   
  
  
  
  2. ### the probability vector  
    3.   
  
  
  
  3. def discrete_inverse_trans(prob_vec):  
    4.   
  
  
  
  4. U=uniform.rvs(size=1)  
    5.   
  
  
  
  5. if U<=prob_vec[0]:  
    6.   
  
  
  
  6. return 1  
    7.   
  
  
  
  7. else:  
    8.   
  
  
  
  8. for i in range(1,len(prob_vec)+1):  
    9.   
  
  
  
  9. if sum(prob_vec[0:i])U:  
    10.   
  
  
  
  10. return i+1 
    11.

 然后，我們創(chuàng)建一個(gè)函數(shù)以使用這些代碼行生成許多隨機(jī)變量樣本。

 
 
 
 
    
  
  
  
  
  1. def discrete_samples(prob_vec,n=1):  
    2.   
  
  
  
  2. sample=[]  
    3.   
  
  
  
  3. for i in range(0,n):  
    4.   
  
  
  
  4. sample.append(discrete_inverse_trans(prob_vec))  
    5.   
  
  
  
  5. return np.array(sample) 
    6.

 最后，我們創(chuàng)建一個(gè)函數(shù)來模擬結(jié)果，并通過這些代碼行將其與實(shí)際結(jié)果進(jìn)行比較。

 
 
 
 
    
  
  
  
  
  1. def discrete_simulate(prob_vec,numbers,n=1):  
    2.   
  
  
  
  2. sample_disc=discrete_samples(prob_vec,n)  
    3.   
  
  
  
  3. unique, counts=np.unique(sample_disc,return_counts=True)  
    4.   
  
  
  
  4.  
    5.   
  
  
  
  5. fig=plt.figure()  
    6.   
  
  
  
  6. ax=fig.add_axes([0,0,1,1])  
    7.   
  
  
  
  7. prob=counts/n  
    8.   
  
  
  
  8. ax.bar(numbers,prob)  
    9.   
  
  
  
  9. ax.set_title("Simulation of Generating %i Discrete Random Variables" %n)  
    10.   
  
  
  
  10. plt.show()  
    11.   
  
  
  
  11.  
    12.   
  
  
  
  12. data={'X':unique,'Number of samples':counts,'Empirical Probability':prob,'Actual Probability':prob_vec}  
    13.   
  
  
  
  13. df=pd.DataFrame(data=data)  
    14.   
  
  
  
  14. return df 
    15.

 我們可以在下面運(yùn)行一些示例以查看結(jié)果。 同樣，請(qǐng)注意，由于我們要生成隨機(jī)變量，因此結(jié)果可能會(huì)有所不同。

 
 
 
 
    
  
  
  
  
  1. prob_vec=np.array([0.1,0.3,0.5,0.05,0.05])  
    2.   
  
  
  
  2. numbers=np.array([1,2,3,4,5])  
    3.   
  
  
  
  3.  
    4.   
  
  
  
  4. dis_example1=discrete_simulate(prob_vec, numbers, n=100)  
    5.   
  
  
  
  5. dis_example2=discrete_simulate(prob_vec, numbers, n=500)  
    6.   
  
  
  
  6. dis_example3=discrete_simulate(prob_vec, numbers, n=1000) 
    7.

    

 
 
 
 
    
  
  
  
  
  1. In[11]: dis_example1  
    2.   
  
  
  
  2. Out[11]:  
    3.   
  
  
  
  3. X Number of samples Empirical Probability Actual Probability  
    4.   
  
  
  
  4. 0 1 8 0.08 0.10  
    5.   
  
  
  
  5. 1 2 35 0.35 0.30  
    6.   
  
  
  
  6. 2 3 50 0.50 0.50  
    7.   
  
  
  
  7. 3 4 5 0.05 0.05  
    8.   
  
  
  
  8. 4 5 2 0.02 0.05In[12]: dis_example2  
    9.   
  
  
  
  9. Out[12]:  
    10.   
  
  
  
  10. X Number of samples Empirical Probability Actual Probability  
    11.   
  
  
  
  11. 0 1 53 0.106 0.10  
    12.   
  
  
  
  12. 1 2 159 0.318 0.30  
    13.   
  
  
  
  13. 2 3 234 0.468 0.50  
    14.   
  
  
  
  14. 3 4 30 0.060 0.05  
    15.   
  
  
  
  15. 4 5 24 0.048 0.05In[13]: dis_example3  
    16.   
  
  
  
  16. Out[13]:  
    17.   
  
  
  
  17. X Number of samples Empirical Probability Actual Probability  
    18.   
  
  
  
  18. 0 1 108 0.108 0.10  
    19.   
  
  
  
  19. 1 2 290 0.290 0.30  
    20.   
  
  
  
  20. 2 3 491 0.491 0.50  
    21.   
  
  
  
  21. 3 4 51 0.051 0.05  
    22.   
  
  
  
  22. 4 5 60 0.060 0.05 
    23.

 結(jié)果很有趣! 我們可以看到，隨著我們?cè)黾与S機(jī)變量樣本的數(shù)量，經(jīng)驗(yàn)概率越來越接近實(shí)際概率。 嘗試使用不同數(shù)量的樣本和/或不同的分布進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，以查看不同的結(jié)果。

總結(jié) 

這種逆變換方法是統(tǒng)計(jì)中非常重要的工具，尤其是在仿真理論中，在給定隨機(jī)變量均勻分布在(0,1)中的情況下，我們想生成隨機(jī)變量。 研究案例本身非常廣泛，您可以使用在生成經(jīng)驗(yàn)累積分布函數(shù)，預(yù)測(cè)分析中使用到的這種方法。


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