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共軛梯度法（Conjugate Gradient Method, CGM）是一種迭代算法，主要用于求解線性方程組，特別是系數矩陣為對稱正定矩陣時，它是基于共軛方向和梯度下降的概念，下面詳細介紹該方法的步驟和原理。
1. 共軛梯度法的原理
共軛梯度法是求解線性方程組$Ax = b$的一種方法，A$是一個對稱正定矩陣，$b$是已知向量，該方法的核心思想是利用共軛方向的性質來加速收斂。
2. 算法步驟
初始化
1、選擇一個初始解$x_0$。
2、計算殘差$r_0 = b Ax_0$。
3、設置初始搜索方向$p_0 = r_0$。
4、初始化迭代計數器$k = 0$。
迭代過程
對于每次迭代$k$：
1、計算步長$\alpha_k = \frac{r_k^T r_k}{p_k^T A p_k}$。
2、更新解$x_{k+1} = x_k + \alpha_k p_k$。
3、計算新的殘差$r_{k+1} = b Ax_{k+1}$。
4、r_{k+1}$足夠小或達到最大迭代次數，停止迭代。
5、否則，計算新的搜索方向$p_{k+1} = r_{k+1} + \beta_k p_k$，\beta_k = \frac{r_{k+1}^T r_{k+1}}{r_k^T r_k}$。
6、$k = k + 1$，返回步驟1。
結束條件
當$r_{k+1}$的范數小于某個預設的閾值或者達到最大迭代次數時，算法停止。
3. 算法分析
共軛梯度法的主要優(yōu)點是它不需要存儲整個系數矩陣$A$，只需要能夠計算$A$與任何向量的乘積即可，這使得它在解決大型稀疏線性系統(tǒng)時非常有效，由于使用了共軛方向，該方法通常比簡單的梯度下降法收斂得更快。
4. 示例表格
| 迭代 | 初始解 | 殘差 | 搜索方向 | 步長 | 新解 | 新殘差 |
| 0 | $x_0$ | $r_0$ | $p_0 = r_0$ | $\alpha_0$ | $x_1$ | $r_1$ |
| 1 | $x_1$ | $r_1$ | $p_1 = r_1 + \beta_0 p_0$ | $\alpha_1$ | $x_2$ | $r_2$ |
| ... | ... | ... | ... | ... | ... | ... |
| k | $x_k$ | $r_k$ | $p_k = r_k + \beta_{k1} p_{k1}$ | $\alpha_k$ | $x_{k+1}$ | $r_{k+1}$ |
5. 上文歸納
共軛梯度法是一種有效的迭代算法，特別適用于求解對稱正定矩陣的大型線性方程組，通過適當選擇初始解和控制迭代過程，可以快速得到方程組的近似解。
網頁名稱：共軛梯度法求解線性方程組，量化共軛梯度法（利用共軛梯度法求解線性方程組）
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