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1.寫(xiě)在前面
前幾天和同事聊了個(gè)問(wèn)題，覺(jué)得還蠻有趣，決定和大家分享一下。
Oh My God! 搞它搞它!
2. 題目描述
我們的熱心讀者小明被選中參加一個(gè)抽獎(jiǎng)游戲，游戲規(guī)則是這樣的：
- 小明面前有ABC三扇相同的門(mén)，小明和觀眾無(wú)法知道ABC三扇門(mén)背后有什么。
- ABC三扇門(mén)中只有一扇門(mén)背后有一輛汽車，其他兩扇門(mén)背后都是一瓶礦泉水。
- 小明需要在3扇門(mén)中選中一個(gè)并且不開(kāi)啟，接下來(lái)主持人從另外兩扇門(mén)中選中一扇門(mén)并且開(kāi)啟。
- 小明選中了A門(mén)，主持人選中了B門(mén)，并且開(kāi)啟B門(mén)后是礦泉水。
- 這時(shí)主持人問(wèn)小明，明哥你要不要從A門(mén)換選C門(mén)呢?
大家都替小明思考一下，別瞎蒙，要有理有據(jù)，能不能提到這輛法拉利就在此一搏了!
3. 蒙提·霍爾問(wèn)題
相信很多老鐵知道這個(gè)問(wèn)題，這就是有名的蒙提霍爾問(wèn)題(Monty Hall Problem)，也稱三門(mén)問(wèn)題。
這是一個(gè)源自博弈論的數(shù)學(xué)游戲問(wèn)題，出自美國(guó)的電視游戲節(jié)目Let's Make a Deal。
這里面有個(gè)非常重要的線索：主持人知道哪扇門(mén)后有汽車且會(huì)選中背后有水的那扇門(mén)，這也是爭(zhēng)議的所在，相當(dāng)于個(gè)隱含條件吧。
在維基百科對(duì)于Monty Hall問(wèn)題的描述中，門(mén)的背后是山羊和汽車，本文替換成了礦泉水，但是數(shù)學(xué)原理是一樣的，大白是想盡量排除干擾，避免讀者鉆牛角尖。
面對(duì)這個(gè)問(wèn)題，很多人認(rèn)為換或者不換選中汽車的概率都是1/2，還有一部分人認(rèn)為應(yīng)該換了之后的概率更大是2/3。
4. 樸素分析
換或者不換，是個(gè)問(wèn)題。
4.1 不換的1/2派
由于主持人已經(jīng)幫小明淘汰了一個(gè)選項(xiàng)，剩下的就只有兩個(gè)了。
很直觀地感覺(jué)一下，A門(mén)和C門(mén)背后有汽車的概率都是1/2，這個(gè)結(jié)論也是符合大部分人直觀第一感覺(jué)的答案，這也是大白的第一答案...害
但是還有句話，真理往往掌握在少數(shù)人手中，所以這個(gè)直觀答案并不一定正確呀!
4.2 調(diào)換的2/3派
調(diào)換派認(rèn)為不換的話有車的概率就是最初的1/3，由于B和C總體的概率為2/3，且已經(jīng)被排除了B，那么修改選擇后，選C有車的概率就是2/3。
詳細(xì)分析一下這幾種可能：
- A扇門(mén)背后有車，如果調(diào)換到C，那么一定沒(méi)有車，這種場(chǎng)景的概率是1/3。
- A扇門(mén)背后無(wú)車，如果調(diào)換到C，那么一定有車，這種場(chǎng)景的概率是2/3。
確實(shí)非常有道理，用一個(gè)低概率成功去換取一個(gè)高概率成功，太機(jī)智了!
4.3 分歧所在
在主持人沒(méi)有開(kāi)啟B門(mén)之前，我們對(duì)選擇A后有汽車的概率是1/3是毫無(wú)爭(zhēng)議的。
但是當(dāng)主持人開(kāi)啟B門(mén)之后，就出現(xiàn)了分歧，那么不由得去想B門(mén)的開(kāi)啟是否影響了之前的選擇A呢?
5. 數(shù)學(xué)分析
沒(méi)有數(shù)學(xué)分析，大家貌似說(shuō)的都有道理，所以必須亮出大神器-概率分析。
這幾個(gè)概率論的術(shù)語(yǔ)，大家都是學(xué)過(guò)的，所以不必有什么數(shù)學(xué)恐懼。
5.1 獨(dú)立事件的概率和條件概率
- 獨(dú)立事件概率
我們?cè)O(shè)定事件a的概率為P(a)，事件b的概率是P(b)，且事件a和事件b是相互獨(dú)立的。
則事件a和事件b同時(shí)發(fā)生的概率，滿足如下公式：
- P(ab)=P(ba)=P(a)P(b)
- 條件概率
條件概率是在某種條件下，某個(gè)事件發(fā)生的概率，展示了事件之間的內(nèi)在聯(lián)系和影響。
我們來(lái)看兩種條件概率的簡(jiǎn)單表述。
1.事件a發(fā)生之后，事件b發(fā)生的概率，可以記做P(b|a)，此時(shí)滿足公式：
- P(b|a)=P(ab)/P(a)
- 等價(jià)于 P(ab)=P(b|a)P(a)
2.事件b發(fā)生之后，事件a發(fā)生的概率，可以記做P(a|b)，此時(shí)滿足公式：
- P(a|b)=P(ab)/P(b)
- 等價(jià)于 P(ab)=P(a|b)P(b)
3.綜合這兩種條件事件，可以得到公式：
- P(ab)=P(b|a)P(a)=P(a|b)P(b)
5.2 貝葉斯公式
我們綜合計(jì)算得到一個(gè)公式：
- P(b|a)P(a)=P(a|b)P(b)
這個(gè)公式做一個(gè)變形可以得到：
- P(a|b)=P(b|a)P(a)/P(b)
沒(méi)錯(cuò)，這就是大名鼎鼎的貝葉斯公式。
5.3 先驗(yàn)概率和后驗(yàn)概率
在貝葉斯公式中，還隱含著一些術(shù)語(yǔ)，來(lái)看下百度百科對(duì)于其中的定義：
- P(A)是A的先驗(yàn)概率或邊緣概率，它不考慮任何B方面的因素。
- P(A|B)是B發(fā)生后A的條件概率，由于得自B的取值被稱作A的后驗(yàn)概率。
- P(B|A)是A發(fā)生后B的條件概率，由于得自A的取值被稱作B的后驗(yàn)概率。
- P(B)是B的先驗(yàn)概率或邊緣概率，稱作標(biāo)準(zhǔn)化常量。
貝葉斯公式的意義非常重大，它揭示了條件事件概率的內(nèi)在聯(lián)系，某些樣本信息的出現(xiàn)對(duì)先驗(yàn)概率的影響。
貝葉斯公式為我們利用搜集到的信息對(duì)原有判斷進(jìn)行修正提供了有效手段。
在很多領(lǐng)域都有非常深遠(yuǎn)的影響，正好用在我們今天的蒙提霍爾問(wèn)題上，繼續(xù)來(lái)分析。
6. 貝葉斯公式和蒙提霍爾問(wèn)題
前面我們提到了，癥結(jié)在于主持人選擇B門(mén)并開(kāi)啟后無(wú)車，這個(gè)事件對(duì)于已作出選擇的參與者來(lái)說(shuō)是否有影響呢?
后驗(yàn)概率是否產(chǎn)生了影響，我們來(lái)推導(dǎo)一下：
- 設(shè)定A、B、C門(mén)后有汽車分別記為事件a、b、c，則P(a)=P(b)=P(c)=1/3。
- 設(shè)定參與者選擇了A門(mén)，由于主持人默認(rèn)需要選擇沒(méi)有汽車的門(mén)，因此參與者的選擇影響了主持人的選擇。
- 設(shè)定主持人選擇了B門(mén)且沒(méi)有汽車，記為事件d，則P(d|a)=1/2,P(d|b)=0,P(d|c)=1。
- 在主持人選擇B門(mén)無(wú)汽車后，參與者選擇A門(mén)有車的概率為P(a|d)，即事件d發(fā)生后事件a的概率，由貝葉斯公式得：
- P(a|d)=P(d|a)P(a)/P(d)
通過(guò)前面的分析，我們只需要求P(d|a)、P(a)、P(d)三個(gè)元素即可。
- P(d|a)表示A門(mén)有汽車的情況下，主持人選擇B門(mén)的概率，其為1/2;
- P(a)表示A門(mén)有汽車的概率，其為1/3;
- P(d)可以從全概率公式求得，其為1/2：
- P(d)=P(d|a)P(a)+P(d|b)P(b)+P(d|c)P(c)
- P(d)=1/2*1/3+0*1/3+1*1/3=1/2
綜上得到：P(a|d)=1/2*1/3*2=1/3
在主持人選擇B門(mén)開(kāi)啟后無(wú)汽車的情況下，參與者選A門(mén)有汽車的概率P(a|d)=1/3，因此后驗(yàn)概率并沒(méi)有發(fā)生變化，并不是直觀的1/2，而仍然是1/3。
因此如果做調(diào)換，那么相當(dāng)于參與者選擇了C門(mén)，計(jì)算過(guò)程類似，概率為2/3：
- P(c|d)=P(d|c)P(c)/P(d)
7.蒙提霍爾問(wèn)題的思考
想這個(gè)問(wèn)題的時(shí)候，總覺(jué)得有漏洞，或者說(shuō)必須在某些條條框框才能正常推演。
比如說(shuō)假如主持人并不知道哪扇門(mén)后有汽車，他也是隨機(jī)選擇的。
比如說(shuō)數(shù)據(jù)規(guī)模不一樣，9扇門(mén)，主持人幫你否定7個(gè)，顯然要換，正是因?yàn)閿?shù)據(jù)規(guī)模很小才帶來(lái)了和直覺(jué)相悖的感覺(jué)。
最后用Horst Hohberger的一段話概括，蒙提霍爾問(wèn)題：
- If you change, you win when your original choice was wrong;
- if you don't change, you win when your original choice was right.
如果你想贏得汽車，兩種情況的概率：
不換情況下必須是最初選擇是對(duì)的才會(huì)贏取法拉利，概率1/3
調(diào)換情況下必須是最初選擇是錯(cuò)的才會(huì)贏取法拉利，概率2/3
網(wǎng)上有一些大佬，寫(xiě)代碼模擬這個(gè)獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)，得到的結(jié)果也是一樣的。
今天先到這里，感謝各位老鐵的傾情安排!
文章名稱：圖解--什么是蒙提霍爾問(wèn)題
瀏覽路徑：http://www.dlmjj.cn/article/cdihdgc.html
