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淺析前綴，后綴，中綴表達(dá)式轉(zhuǎn)化求值問題

 算法，一門既不容易入門，也不容易精通的學(xué)問。

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上次介紹如何利用棧實(shí)現(xiàn)中綴表達(dá)式求值，如果我是出題官，當(dāng)然要考前綴，后綴，中綴表達(dá)式相互轉(zhuǎn)換，然后就變成了利用棧實(shí)現(xiàn)前綴和后綴表達(dá)式求值。

前綴，后綴，中綴表達(dá)式相互轉(zhuǎn)換及其運(yùn)算，可以說是計(jì)算機(jī)考研的一個(gè)重點(diǎn)。

首先看下面所示表格：

  • 注意：前序表達(dá)式和后序表達(dá)式是沒有擴(kuò)號

這篇文章有對應(yīng)的圖解：https://mp.weixin.qq.com/s/NRbFXZAXEUeXhKKYY7CReg

中綴表達(dá)式轉(zhuǎn)前綴表達(dá)式求值

中綴表達(dá)式轉(zhuǎn)前綴表達(dá)式的規(guī)則：

 
 
 
 
    
  
  
  
  
  1. 1、反轉(zhuǎn)輸入字符串，如“2*3/(2-1)+3*(4-1)” 反轉(zhuǎn)后為“ )1-4(*3+)1-2(/3*2”， 
    2. 
  
  
  
  
  2. 2、從字符串中取出下一個(gè)字符 
    3. 
  
  
  
  
  3.   2.1.如果是操作數(shù)，直接輸出 
    4. 
  
  
  
  
  4.   2.2.如果是“)”，壓入棧中 
    5. 
  
  
  
  
  5.   2.3.如果是運(yùn)算符但不是“(”，“)”,則不斷循環(huán)進(jìn)行以下處理 
    6. 
  
  
  
  
  6.     2.3.1.如果棧為空，則此運(yùn)算符進(jìn)棧，結(jié)束此步驟 
    7. 
  
  
  
  
  7.     2.3.2.如果棧頂是“)”,則此運(yùn)算符進(jìn)棧，結(jié)束此步驟 
    8. 
  
  
  
  
  8.     2.3.2.如果此運(yùn)算符與棧頂優(yōu)先級相同或者更高，此運(yùn)算符進(jìn)棧，結(jié)束此步驟 
    9. 
  
  
  
  
  9.     2.3.4.否則，運(yùn)算符連續(xù)出棧，直到滿足上述三個(gè)條件之一，然后此運(yùn)算符進(jìn)棧 
    10. 
  
  
  
  
  10.   2.4、如果是“(”，則運(yùn)算符連續(xù)出棧，直到遇見“)”為止,將“)”出棧且丟棄之 
    11. 
  
  
  
  
  11. 3、如果還有更多的字符串，則轉(zhuǎn)到第2步 
    12. 
  
  
  
  
  12. 4、不在有未處理的字符串了，輸出棧中剩余元素 
    13. 
  
  
  
  
  13. 5、再次反轉(zhuǎn)字符串得到最終結(jié)果 
    14.

經(jīng)過上面的步驟，得到的輸出既是轉(zhuǎn)換得到的前綴表達(dá)式。

前綴表達(dá)式的計(jì)算方法：對前綴表達(dá)式從后向前掃描，設(shè)定一個(gè)操作數(shù)棧，如果是操作數(shù)，則將其直接入棧，如果是操作符，則從棧中彈出操作符對應(yīng)的操作數(shù)進(jìn)行運(yùn)算，并將計(jì)算結(jié)果壓棧。直至從右到左掃描完畢整個(gè)前綴表達(dá)式，這時(shí)操作數(shù)棧中應(yīng)該只有一個(gè)元素，該元素的值則為前綴表達(dá)式的計(jì)算結(jié)果。

上面的過程使用數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)棧來實(shí)現(xiàn)，具體代碼如下

 
 
 
 
    
  
  
  
  
  1. ''' 
    2. 
  
  
  
  
  2. @Author：Runsen 
    3. 
  
  
  
  
  3. @WeChat：RunsenLiu  
    4. 
  
  
  
  
  4. @微信公眾號：Python之王 
    5. 
  
  
  
  
  5. @CSDN：https://blog.csdn.net/weixin_44510615 
    6. 
  
  
  
  
  6. @Github：https://github.com/MaoliRUNsen 
    7. 
  
  
  
  
  7. @Date：2020/12/17 
    8. 
  
  
  
  
  8. ''' 
    9. 
  
  
  
  
  9. import re 
    10. 
  
  
  
  
  10.  
    11. 
  
  
  
  
  11. class Stack(): 
    12. 
  
  
  
  
  12.     def __init__(self): 
    13. 
  
  
  
  
  13.         self.items = [] 
    14. 
  
  
  
  
  14.  
    15. 
  
  
  
  
  15.     def push(self, item): 
    16. 
  
  
  
  
  16.         return self.items.append(item) 
    17. 
  
  
  
  
  17.  
    18. 
  
  
  
  
  18.     def pop(self): 
    19. 
  
  
  
  
  19.         return self.items.pop() 
    20. 
  
  
  
  
  20.  
    21. 
  
  
  
  
  21.     def size(self): 
    22. 
  
  
  
  
  22.         return len(self.items) 
    23. 
  
  
  
  
  23.  
    24. 
  
  
  
  
  24.     def peek(self): 
    25. 
  
  
  
  
  25.         return self.items[len(self.items) - 1] 
    26. 
  
  
  
  
  26.  
    27. 
  
  
  
  
  27.     def display(self): 
    28. 
  
  
  
  
  28.         print(self.items) 
    29. 
  
  
  
  
  29.  
    30. 
  
  
  
  
  30. def infix_to_prefix(s): 
    31. 
  
  
  
  
  31.     prec = { 
    32. 
  
  
  
  
  32.         '*': 3, 
    33. 
  
  
  
  
  33.         '/': 3, 
    34. 
  
  
  
  
  34.         '+': 2, 
    35. 
  
  
  
  
  35.         '-': 2, 
    36. 
  
  
  
  
  36.         '(': 4, 
    37. 
  
  
  
  
  37.         ')': 1 
    38. 
  
  
  
  
  38.     } 
    39. 
  
  
  
  
  39.  
    40. 
  
  
  
  
  40.     a = re.findall('[1-9]\d*|[\+\-\*\/\(\)]', input('請輸入中綴表達(dá)式：')) 
    41. 
  
  
  
  
  41.     prefix = [] 
    42. 
  
  
  
  
  42.  
    43. 
  
  
  
  
  43.     for x in a[::-1]: 
    44. 
  
  
  
  
  44.         if re.match('[0-9]', x): 
    45. 
  
  
  
  
  45.             #操作數(shù)，直接輸出 
    46. 
  
  
  
  
  46.             prefix.append(x) 
    47. 
  
  
  
  
  47.         else: 
    48. 
  
  
  
  
  48.             #如果是“)”，壓入棧中 
    49. 
  
  
  
  
  49.             if x == ')': 
    50. 
  
  
  
  
  50.                 s.push(x) 
    51. 
  
  
  
  
  51.             elif x == '(': 
    52. 
  
  
  
  
  52.                 while True: 
    53. 
  
  
  
  
  53.                     i = s.pop() 
    54. 
  
  
  
  
  54.                     if i == ')': 
    55. 
  
  
  
  
  55.                         break 
    56. 
  
  
  
  
  56.                     else: 
    57. 
  
  
  
  
  57.                         prefix.append(i) 
    58. 
  
  
  
  
  58.             else: 
    59. 
  
  
  
  
  59.                 if s.size() > 0 and prec[x] <= prec[s.peek()]: 
    60. 
  
  
  
  
  60.                     prefix.append(s.pop()) 
    61. 
  
  
  
  
  61.                 s.push(x) 
    62. 
  
  
  
  
  62.     for _ in range(s.size()): 
    63. 
  
  
  
  
  63.         prefix.append(s.pop()) 
    64. 
  
  
  
  
  64.     return prefix[::-1] 
    65. 
  
  
  
  
  65.      
    66. 
  
  
  
  
  66. def cal_prefix(s, prefix): 
    67. 
  
  
  
  
  67.     # 思路：對前綴表達(dá)式從后向前掃描，設(shè)定一個(gè)操作數(shù)棧，如果是操作數(shù)，則將其直接入棧，如果是操作符，則從棧中彈出操作符對應(yīng)的操作數(shù)進(jìn)行運(yùn)算，并將計(jì)算結(jié)果壓棧。 
    68. 
  
  
  
  
  68.     # 直至從右到左掃描完畢整個(gè)前綴表達(dá)式，這時(shí)操作數(shù)棧中應(yīng)該只有一個(gè)元素，該元素的值則為前綴表達(dá)式的計(jì)算結(jié)果。 
    69. 
  
  
  
  
  69.     for x in prefix[::-1]: 
    70. 
  
  
  
  
  70.         if re.match('[0-9]', x): 
    71. 
  
  
  
  
  71.             s.push(x) 
    72. 
  
  
  
  
  72.         else: 
    73. 
  
  
  
  
  73.             a2 = int(s.pop()) 
    74. 
  
  
  
  
  74.             a1 = int(s.pop()) 
    75. 
  
  
  
  
  75.             if x == '*': 
    76. 
  
  
  
  
  76.                 a = a1 * a2 
    77. 
  
  
  
  
  77.             elif x == '/': 
    78. 
  
  
  
  
  78.                 a = a2 / a1 
    79. 
  
  
  
  
  79.             elif x == '+': 
    80. 
  
  
  
  
  80.                 a = a1 + a2 
    81. 
  
  
  
  
  81.             else: 
    82. 
  
  
  
  
  82.                 a = a2 - a1 
    83. 
  
  
  
  
  83.             s.push(a) 
    84. 
  
  
  
  
  84.     return s.pop() 
    85. 
  
  
  
  
  85.  
    86. 
  
  
  
  
  86. if __name__ == '__main__': 
    87. 
  
  
  
  
  87.     s = Stack() 
    88. 
  
  
  
  
  88.     prefix = infix_to_prefix(s) 
    89. 
  
  
  
  
  89.     print('前綴表達(dá)式：', prefix) 
    90. 
  
  
  
  
  90.     prefix_val = cal_prefix(s, prefix) 
    91. 
  
  
  
  
  91.     print('前綴表達(dá)式計(jì)算結(jié)果：', prefix_val) 
    92. 
  
  
  
  
  92.  
    93. 
  
  
  
  
  93. 請輸入中綴表達(dá)式：2*3/(2-1)+3*(4-1) 
    94. 
  
  
  
  
  94. 前綴表達(dá)式： ['+', '*', '2', '/', '3', '-', '2', '1', '*', '3', '-', '4', '1'] 
    95. 
  
  
  
  
  95. 前綴表達(dá)式計(jì)算結(jié)果： 15 
    96. 
  
  
  
  
  96. 請輸入中綴表達(dá)式：9+(3-1*2)*3+10/2 
    97. 
  
  
  
  
  97. 前綴表達(dá)式： ['+', '+', '9', '*', '-', '3', '*', '1', '2', '3', '/', '10', '2'] 
    98. 
  
  
  
  
  98. 前綴表達(dá)式計(jì)算結(jié)果： 17 
    99.

中綴表達(dá)式轉(zhuǎn)換為后綴表達(dá)式求值

中綴表達(dá)式轉(zhuǎn)后綴表達(dá)式的規(guī)則：

1.遇到操作數(shù)，直接輸出;

2.棧為空時(shí)，遇到運(yùn)算符，入棧;

3.遇到左括號，將其入棧;

4.遇到右括號，執(zhí)行出棧操作，并將出棧的元素輸出，直到彈出棧的是左括號，左括號不輸出;

5.遇到其他運(yùn)算符’+”-”*”/’時(shí)，彈出所有優(yōu)先級大于或等于該運(yùn)算符的棧頂元素，然后將該運(yùn)算符入棧;

6.最終將棧中的元素依次出棧，輸出。

經(jīng)過上面的步驟，得到的輸出既是轉(zhuǎn)換得到的后綴表達(dá)式。

后綴表達(dá)式的計(jì)算方法：對后綴表達(dá)式從前向后掃描，設(shè)定一個(gè)操作數(shù)棧，如果是操作數(shù)，則將其直接入棧，如果是操作符，則從棧中彈出操作符對應(yīng)的操作數(shù)進(jìn)行運(yùn)算，并將計(jì)算結(jié)果壓棧。直至從右到左掃描完畢整個(gè)后綴表達(dá)式，這時(shí)操作數(shù)棧中應(yīng)該只有一個(gè)元素，該元素的值則為后綴表達(dá)式的計(jì)算結(jié)果。

上面的過程使用數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)棧來實(shí)現(xiàn)，具體代碼如下:

 
 
 
 
    
  
  
  
  
  1. ''' 
    2. 
  
  
  
  
  2. @Author：Runsen 
    3. 
  
  
  
  
  3. @WeChat：RunsenLiu 
    4. 
  
  
  
  
  4. @微信公眾號：Python之王 
    5. 
  
  
  
  
  5. @CSDN：https://blog.csdn.net/weixin_44510615 
    6. 
  
  
  
  
  6. @Github：https://github.com/MaoliRUNsen 
    7. 
  
  
  
  
  7. @Date：2020/12/17 
    8. 
  
  
  
  
  8. ''' 
    9. 
  
  
  
  
  9. import re 
    10. 
  
  
  
  
  10.  
    11. 
  
  
  
  
  11. class Stack(): 
    12. 
  
  
  
  
  12.     def __init__(self): 
    13. 
  
  
  
  
  13.         self.items = [] 
    14. 
  
  
  
  
  14.  
    15. 
  
  
  
  
  15.     def push(self, item): 
    16. 
  
  
  
  
  16.         return self.items.append(item) 
    17. 
  
  
  
  
  17.  
    18. 
  
  
  
  
  18.     def pop(self): 
    19. 
  
  
  
  
  19.         return self.items.pop() 
    20. 
  
  
  
  
  20.  
    21. 
  
  
  
  
  21.     def size(self): 
    22. 
  
  
  
  
  22.         return len(self.items) 
    23. 
  
  
  
  
  23.  
    24. 
  
  
  
  
  24.     def peek(self): 
    25. 
  
  
  
  
  25.         return self.items[len(self.items) - 1] 
    26. 
  
  
  
  
  26.  
    27. 
  
  
  
  
  27.     def display(self): 
    28. 
  
  
  
  
  28.         print(self.items) 
    29. 
  
  
  
  
  29.  
    30. 
  
  
  
  
  30.  
    31. 
  
  
  
  
  31. def infix_to_postfix (s): 
    32. 
  
  
  
  
  32.     prec = { 
    33. 
  
  
  
  
  33.         '*': 3, 
    34. 
  
  
  
  
  34.         '/': 3, 
    35. 
  
  
  
  
  35.         '+': 2, 
    36. 
  
  
  
  
  36.         '-': 2, 
    37. 
  
  
  
  
  37.         '(': 1, 
    38. 
  
  
  
  
  38.         ')': 4 
    39. 
  
  
  
  
  39.     } 
    40. 
  
  
  
  
  40.  
    41. 
  
  
  
  
  41.     a = re.findall('[1-9]\d*|[\+\-\*\/\(\)]', input('請輸入中綴表達(dá)式：')) 
    42. 
  
  
  
  
  42.     postfix = [] 
    43. 
  
  
  
  
  43.  
    44. 
  
  
  
  
  44.     for x in a: 
    45. 
  
  
  
  
  45.         if re.match('[0-9]', x): 
    46. 
  
  
  
  
  46.             # 操作數(shù)，直接輸出 
    47. 
  
  
  
  
  47.             postfix.append(x) 
    48. 
  
  
  
  
  48.         else: 
    49. 
  
  
  
  
  49.             # 如果是“(”，壓入棧中 
    50. 
  
  
  
  
  50.             if x == '(': 
    51. 
  
  
  
  
  51.                 s.push(x) 
    52. 
  
  
  
  
  52.             elif x == ')': 
    53. 
  
  
  
  
  53.                 while True: 
    54. 
  
  
  
  
  54.                     i = s.pop() 
    55. 
  
  
  
  
  55.                     if i == '(': 
    56. 
  
  
  
  
  56.                         break 
    57. 
  
  
  
  
  57.                     else: 
    58. 
  
  
  
  
  58.                         postfix.append(i) 
    59. 
  
  
  
  
  59.             else: 
    60. 
  
  
  
  
  60.                 if s.size() > 0 and prec[x] <= prec[s.peek()]: 
    61. 
  
  
  
  
  61.                     postfix.append(s.pop()) 
    62. 
  
  
  
  
  62.                 s.push(x) 
    63. 
  
  
  
  
  63.     for _ in range(s.size()): 
    64. 
  
  
  
  
  64.         postfix.append(s.pop()) 
    65. 
  
  
  
  
  65.     return postfix 
    66. 
  
  
  
  
  66.  
    67. 
  
  
  
  
  67.  
    68. 
  
  
  
  
  68. def cal_postfix (s, postfix): 
    69. 
  
  
  
  
  69.     for x in postfix: 
    70. 
  
  
  
  
  70.         if re.match('[0-9]', x): 
    71. 
  
  
  
  
  71.             s.push(x) 
    72. 
  
  
  
  
  72.         else: 
    73. 
  
  
  
  
  73.             a1 = int(s.pop()) 
    74. 
  
  
  
  
  74.             a2 = int(s.pop()) 
    75. 
  
  
  
  
  75.             if x == '*': 
    76. 
  
  
  
  
  76.                 a = a1 * a2 
    77. 
  
  
  
  
  77.             elif x == '/': 
    78. 
  
  
  
  
  78.                 a = a2 / a1 
    79. 
  
  
  
  
  79.             elif x == '+': 
    80. 
  
  
  
  
  80.                 a = a1 + a2 
    81. 
  
  
  
  
  81.             else: 
    82. 
  
  
  
  
  82.                 a = a2 - a1 
    83. 
  
  
  
  
  83.             s.push(a) 
    84. 
  
  
  
  
  84.     return s.pop() 
    85. 
  
  
  
  
  85.  
    86. 
  
  
  
  
  86.  
    87. 
  
  
  
  
  87. if __name__ == '__main__': 
    88. 
  
  
  
  
  88.     s = Stack() 
    89. 
  
  
  
  
  89.     postfix = infix_to_postfix(s) 
    90. 
  
  
  
  
  90.     print('后綴表達(dá)式：', postfix) 
    91. 
  
  
  
  
  91.     postfix_val = cal_postfix (s, postfix) 
    92. 
  
  
  
  
  92.     print('后綴表達(dá)式計(jì)算結(jié)果：', postfix_val) 
    93. 
  
  
  
  
  93.  
    94. 
  
  
  
  
  94.  
    95. 
  
  
  
  
  95. 請輸入中綴表達(dá)式：2*3/(2-1)+3*(4-1) 
    96. 
  
  
  
  
  96. ['2', '3', '*', '2', '1', '-', '/', '3', '4', '1', '-'] 
    97. 
  
  
  
  
  97. 后綴表達(dá)式： ['2', '3', '*', '2', '1', '-', '/', '3', '4', '1', '-', '*', '+'] 
    98. 
  
  
  
  
  98. 后綴表達(dá)式計(jì)算結(jié)果： 15 
    99. 
  
  
  
  
  99. 請輸入中綴表達(dá)式：9+(3-1*2)*3+10/2 
    100. 
  
  
  
  
  100. 后綴表達(dá)式： ['9', '3', '1', '2', '*', '-', '3', '*', '10', '2', '/', '+', '+'] 
    101. 
  
  
  
  
  101. 后綴表達(dá)式計(jì)算結(jié)果： 17 
    102.

其實(shí)此題是Leetcode第150題，逆波蘭表達(dá)式求值。

根據(jù) 逆波蘭表示法，求表達(dá)式的值。

有效的運(yùn)算符包括 +, -, *, / 。每個(gè)運(yùn)算對象可以是整數(shù)，也可以是另一個(gè)逆波蘭表達(dá)式。

 
 
 
 
    
  
  
  
  
  1. 示例 1： 
    2. 
  
  
  
  
  2.  
    3. 
  
  
  
  
  3. 輸入: ["2", "1", "+", "3", "*"] 
    4. 
  
  
  
  
  4. 輸出: 9 
    5. 
  
  
  
  
  5. 解釋: 該算式轉(zhuǎn)化為常見的中綴算術(shù)表達(dá)式為：((2 + 1) * 3) = 9 
    6. 
  
  
  
  
  6. 示例 2： 
    7. 
  
  
  
  
  7.  
    8. 
  
  
  
  
  8. 輸入: ["4", "13", "5", "/", "+"] 
    9. 
  
  
  
  
  9. 輸出: 6 
    10. 
  
  
  
  
  10. 解釋: 該算式轉(zhuǎn)化為常見的中綴算術(shù)表達(dá)式為：(4 + (13 / 5)) = 6 
    11.

前綴表達(dá)式轉(zhuǎn)中綴表達(dá)式

從右往左開始，取出一個(gè)操作符和操作符右邊的兩個(gè)數(shù)進(jìn)行計(jì)算，并將計(jì)算的結(jié)果放過去，直到計(jì)算結(jié)束。以前綴表達(dá)式+/*23-21*3-41為例，將其轉(zhuǎn)換為中綴表達(dá)式：

(1)取出-、4、1，計(jì)算并將結(jié)果放回得到+/*23-21*3(4-1);

(2)取出*、3、(4-1)，計(jì)算并將結(jié)果放回得到+/*23-21(3*(4-1));

(3)取出-、2、1，計(jì)算并將結(jié)果放回得到+/*23(2-1)(3*(4-1));

(3)取出*、2、3，計(jì)算并將結(jié)果放回得到+/(2*3)(2-1)(3*(4-1));

(4)取出/、(2*3)、(2-1)，計(jì)算并將結(jié)果放回得到+((2*3)/(2-1))(3*(4-1));

(5)取出+、((2*3)/(2-1))、(3*(4-1))，計(jì)算將結(jié)果放回得到((2*3)/(2-1))+(3*(4-1))，計(jì)算結(jié)束，顯然計(jì)算結(jié)果為15。

后綴表達(dá)式轉(zhuǎn)中綴表達(dá)式從左向右開始，取出一個(gè)操作符和操作符左邊的兩個(gè)數(shù)進(jìn)行計(jì)算，并將計(jì)算的結(jié)果放過去，直到計(jì)算結(jié)束，以后綴表達(dá)式23*21-/341-*+為例，將其轉(zhuǎn)換為中綴表達(dá)式：(1)取出2、3、*，計(jì)算并將結(jié)果放回得到(2*3)21-/341-*+;

(2)取出2，1，-，計(jì)算并將結(jié)果放回得到(2*3)(2-1)/341-*+;

(3)取出(2*3)、(2-1)、/，計(jì)算并將結(jié)果放回得到((2*3)/(2-1))341-*+;

(4)取出4，1，-，計(jì)算并將結(jié)果放回得到((2*3)/(2-1)) 3(4-1)*+;

(5)取出3，(4-1)，*，計(jì)算并將結(jié)果放回得到((2*3)/(2-1)) 3*(4-1)+;

(6)取出((2*3)/(2-1))，3*(4-1)，+，計(jì)算并將結(jié)果放回得到((2*3)/(2-1)) + 3*(4-1)，顯然計(jì)算結(jié)果為15。

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